Bessel’s Correction

Bessel’s Correction

စာရင်းအင်းနယ်ပယ်တွင် ဒေတာများကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာရာတွင် တိကျမှုနှင့် ယုံကြည်စိတ်ချရမှုသည် အဓိက အချက်ဖြစ်သည်။ အထူးသဖြင့် sample ဒေတာများမှ population ကို ခန့်မှန်းရန် ကြိုးစားချိန်တွင် အမှားများကို ရှောင်ရှားရန် လိုအပ်ပါသည်။ ဤနေရာတွင် Bessel’s correction ဟူသော ချိန်ညှိနည်းလမ်းသည် အရေးပါလာပါသည်။

Bessel’s Correction ဆိုတာ ဘာလဲ။

Bessel’s correction သည် sample ဒေတာတစ်ခု၏ variance နှင့် standard deviation ကို တွက်ချက်ရာတွင် အသုံးပြုသော ချိန်ညှိနည်းတစ်ခုဖြစ်သည်။

ရိုးရိုး ရှင်းရှင်း ပြောရလျှင်၊ sum square deviation ကို n နှင့် မပိုင်းဘဲ n-1 နှင့် ပိုင်းလိုက်ခြင်း ဖြစ်သည်။

ဥပမာ၊ sample variance s² ကို တွက်ရန် ဖော်မြူလာ မှာ Σ (x_i – x̄)² / (n-1) ဖြစ်ပါသည်။ ဤသို့ ချိန်ညှိခြင်းဖြင့် တွက်ချက်မှုသည် population variance σ² ကို ခန့်မှန်းရန်အတွက် unbiased estimator ဖြစ်လာပါသည်။

အကယ်၍ ဤ correction ကို မသုံးဘဲ n နှင့် ပိုင်းခဲ့လျှင်၊ ရလဒ်သည် ပျမ်းမျှ အားဖြင့် အစစ်အမှန် population variance ထက် နည်းနည်း သေးသွားမည်ဖြစ်သည်။ ဤအမှားကို bias ဟု ခေါ်ပါသည်။ Bessel’s correction သည် ထိုသို့သော bias ကို ဖယ်ရှားပေးပြီး ကျွန်တော်တို့၏ ခန့်မှန်းချက်ကို ပိုမို တိကျစေပါသည်။

ဤ correction ကို ဂျာမန် နက္ခတ္တဗေဒ ပညာရှင် Friedrich Bessel မှ ၁၈၃၈ ခုနှစ်တွင် တရားဝင် အသုံးပြုခဲ့သည်ဟု ဆိုပါသည်။ သို့သော် အချို့ အချက်အလက်များအရ၊ အဆိုပါ နည်းလမ်းကို Carl Friedrich Gauss မှ ၁၈၂၃ ခုနှစ်ကတည်းက အသုံးပြုခဲ့သည်ဟု ယူဆကြပါသည်။ မည်သို့ပင် ဆိုစေကာမူ၊ အမည်မှာ Bessel နှင့် ဆက်စပ်နေဆဲ ဖြစ်ပါသည်။ ဤနည်းသည် နက္ခတ္တဗေဒ နယ်ပယ်တွင် အမှားများကို ခန့်မှန်းရန် အတွက် မူလက စတင်ခဲ့ပြီး၊ ယခုအခါ စာရင်းအင်း၏ အခြေခံ အချက်တစ်ခု ဖြစ်လာခဲ့ပါသည်။

sample ဒေတာများတွင် mean ကို x̄ ဖြင့် တွက်ချက်ပါသည်။ ဤ x̄ သည် population ၏ အစစ်အမှန် μ နှင့် မတူနိုင်ပါ။ sample ဒေတာများသည် သူ့ mean x̄ နှင့် ပိုမို နီးကပ်နေတတ်သည်ကြောင့်၊ deviation များသည် သေးငယ်သွားတတ်ပါသည်။ sample အရွယ်အစား n သေးငယ်လေလေ၊ ဤ bias များလေလေ ဖြစ်ပါသည်။
ဤ အမှားကို ပြင်ဆင်ရန် n/(n-1) ဖြင့် မြှောက်ခြင်း သို့မဟုတ် n-1 ဖြင့် ပိုင်းခြင်း ပြုလုပ်ပါသည်။ ရလဒ်အနေဖြင့် sample variance သည် ပျမ်းမျှ အားဖြင့် population variance နှင့် ညီမျှလာပါသည်။

population variance σ² ကို Σ (x_i – μ)² / N ဖြင့် တွက်ပါသည်။ sample တွင် ရိုးရိုး တွက်ချက်မည်ဆိုပါက Σ (x_i – x̄)² / n ဖြစ်ပါသည်။ ဤ တန်ဖိုး၏ expectation E[ Σ (x_i – x̄)² / n ] သည် (n-1)/n * σ² သာ ဖြစ်ပါသည်။ မည်သို့ ရရှိလာသည်ကို ကြည့်နိုင်ပါသည်။

Σ (x_i – x̄)² = Σ (x_i – μ + μ – x̄)²
                  = Σ (x_i – μ)² – 2(μ – x̄) Σ (x_i – μ) + n (μ – x̄)²
အလယ်အချက်သည် သုည ဖြစ်ပါသည်။ ထို့ကြောင့်၊ Σ (x_i – x̄)² = Σ (x_i – μ)² – n (x̄ – μ)²

expectation မှာ E[ Σ (x_i – μ)² ] – n E[ (x̄ – μ)² ] ဖြစ်ပါသည်။
E[ Σ (x_i – μ)² ] = n σ² နှင့် E[ (x̄ – μ)² ] = σ² / n ဖြစ်ပါသည်။
ရလဒ်မှာ E[ Σ (x_i – x̄)² ] = n σ² – σ² = (n-1) σ² ထို့ကြောင့် E[ Σ (x_i – x̄)² / n ] = (n-1)/n σ² ဖြစ်ပါသည်။
ဤ bias ကို ပြင်ရန် n/(n-1) ဖြင့် မြှောက်ပါက E[s²] = σ² ရရှိပါသည်။

အကယ်၍ population မှာ နံပါတ် ၁ မှ ၁၀ ဆိုပါစို့။ population variance မှာ ၈.၂၅ ဖြစ်ပါသည်။
Sample အနေဖြင့် ၃၊ ၅၊ ၇ ကို ယူပါ။
n=3၊ mean =၅။ sum square deviation = (၃-၅)² + (၅-၅)² + (၇-၅)² = ၈။
n=3 နှင့် ပိုင်းပါက ၈/၃ ≈ ၂.၆၇ ရရှိပါသည်။ သို့သော် n-1=2 နှင့် ပိုင်းပါက ၈/၂ = ၄ ရရှိပါသည်။ ဤ ၄ သည် ၈.၂၅ နှင့် ပိုမို နီးကပ်ပါသည်။ နမူနာ ကြီးလေလေ၊ ဤ correction ၏ လိုအပ်ချက် နည်းလေလေ ဖြစ်ပါသည်။

Bessel’s correction သည် စာရင်းအင်းပညာရပ်တွင် အသုံးများဆုံး နည်းလမ်းတစ်ခု ဖြစ်ပါသည်။ အထူးသဖြင့် t-test နှင့် confidence interval များတွင် ပါဝင်ပါသည်။ ဤ ချိန်ညှိချက်ဖြင့် ကျွန်တော်တို့၏ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုများသည် ပိုမို ယုံကြည်စိတ်ချရပြီး အမှားများကို ရှောင်ရှားနိုင်ပါသည်။

နပေတိုး