Chapter 5 SOME IMPORTANT SAMPLING DISTRIBUTIONS

အခန်း (၅) တွင်ပါဝင်သော “အရေးကြီးသော နမူနာဖြန့်ဝေမှုအချို့” (SOME IMPORTANT SAMPLING DISTRIBUTIONS) သည် စာရင်းအင်းဘာသာရပ်ရှိ အရေးကြီးဆုံး အခန်းများထဲမှ တစ်ခုဖြစ်ပြီး၊ ဖော်ပြချက်ဆိုင်ရာစာရင်းအင်း (descriptive statistics) နှင့် ဖြစ်နိုင်ခြေသဘောတရား (probability) တို့မှ ကောက်ချက်ဆွဲခြင်းဆိုင်ရာစာရင်းအင်း (inferential statistics) သို့ ကူးပြောင်းရာတွင် အဓိကတံတားအဖြစ် တည်ရှိနေသည်။ ကောက်ချက်ဆွဲခြင်းဆိုသည်မှာ လူဦးရေ (population) မှ ရယူထားသော နမူနာ (sample) အချက်အလက်များကို အခြေခံ၍ ထိုလူဦးရေအကြောင်း ကောက်ချက်များ ချမှတ်ခြင်းဖြစ်သည်။ ဤကောက်ချက်များကို မှန်ကန်စွာ ချမှတ်နိုင်ရန်အတွက် နမူနာဖြန့်ဝေမှု (sampling distribution) သဘောတရားကို နားလည်ရန် လွန်စွာအရေးကြီးပါသည်။

နမူနာဖြန့်ဝေမှုဆိုသည်မှာ အဘယ်နည်း။

နမူနာဖြန့်ဝေမှုဆိုသည်မှာ သတ်မှတ်ထားသော နမူနာအရွယ်အစား (sample size) နှင့် လူဦးရေတစ်ခုမှ ဖြစ်နိုင်ချေရှိသော နမူနာအားလုံးကို ရွေးချယ်ပြီး၊ ထိုနမူနာတစ်ခုစီမှ တွက်ချက်ရရှိသည့် နမူနာစာရင်းအင်း (sample statistic) (ဥပမာ – နမူနာပျမ်းမျှ (sample mean)၊ နမူနာအချိုးအစား (sample proportion)) တို့၏ ဖြန့်ဝေမှု (distribution) ဖြစ်သည်။ လက်တွေ့တွင် ကျွန်ုပ်တို့သည် နမူနာတစ်ခုတည်းကိုသာ ကောက်ယူလေ့ရှိသော်လည်း၊ ဤနမူနာစာရင်းအင်းသည် မည်သို့ပြုမူသည် (၎င်း၏ ဖြစ်နိုင်ချေရှိသော တန်ဖိုးများ မည်သို့ဖြန့်ဝေနေသည်) ကို သိရန်အတွက် သဘောတရားအရ နမူနာဖြန့်ဝေမှုကို စဉ်းစားရခြင်း ဖြစ်သည်။

အခန်း (၅) တွင် အဓိကအားဖြင့် အောက်ပါ အရေးကြီးသော နမူနာဖြန့်ဝေမှုလေးမျိုးကို ဆွေးနွေးထားသည်:
1.တစ်ခုတည်းသော နမူနာပျမ်းမျှ (a single sample mean).
2.နမူနာပျမ်းမျှနှစ်ခုအကြား ကွာခြားချက် (the difference between two sample means).
3.တစ်ခုတည်းသော နမူနာအချိုးအစား (a sample proportion).
4.နမူနာအချိုးအစားနှစ်ခုအကြား ကွာခြားချက် (the difference between two sample proportions).

နမူနာပျမ်းမျှ၏ နမူနာဖြန့်ဝေမှု (Sampling Distribution of the Sample Mean): ဤဖြန့်ဝေမှုသည် အခန်း (၅) တွင် အသေးစိတ်ဆုံး ဆွေးနွေးထားသည့်အရာဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ အရေးကြီးသော ဝိသေသလက္ခဏာများမှာ-
•ပျမ်းမျှ (Mean): နမူနာပျမ်းမျှများ၏ နမူနာဖြန့်ဝေမှု၏ ပျမ်းမျှ (μₓ̄) သည် မူလလူဦးရေ၏ ပျမ်းမျှ (μ) နှင့် အမြဲတမ်း ညီမျှသည် (μₓ̄ = μ)။

•ဗေရိယင့် (Variance): နမူနာပျမ်းမျှများ၏ နမူနာဖြန့်ဝေမှု၏ ဗေရိယင့် (σₓ̄²) သည် မူလလူဦးရေ၏ ဗေရိယင့် (σ²) ကို နမူနာအရွယ်အစား (n) ဖြင့် စားထားခြင်းနှင့် ညီမျှသည် (σₓ̄² = σ²/n)။ ၎င်း၏ စံသွေဖည်မှု (standard deviation) ကိုမူ Standard Error of the Mean ဟုခေါ်ပြီး σₓ̄ = σ/√n ဖြစ်သည်။ ဤ Standard Error သည် နမူနာပျမ်းမျှတစ်ခု၏ တန်ဖိုးသည် မူလလူဦးရေပျမ်းမျှနှင့် မည်မျှကွာဝေးနိုင်သည်ကို တိုင်းတာသည့် ပမာဏဖြစ်သည်။

•ပုံစံ (Shape): ဤနေရာတွင် Central Limit Theorem (CLT) ၏ အရေးပါပုံ ပေါ်လွင်လာသည်-
◦မူလလူဦးရေသည် ပုံမှန်ဖြန့်ဝေမှု (normal distribution) အတိုင်း ဖြစ်ပါက၊ နမူနာပျမ်းမျှ၏ ဖြန့်ဝေမှုသည် နမူနာအရွယ်အစား မည်မျှပင်သေးငယ်သည်ဖြစ်စေ ပုံမှန်ဖြန့်ဝေမှု အတိုင်းပင် ဖြစ်သည်။
◦မူလလူဦးရေ၏ ဖြန့်ဝေမှုပုံစံကို မသိသော်လည်း (ပုံမှန်မဖြစ်သော်လည်း)၊ နမူနာအရွယ်အစား (n) သည် များပြားပါက (large sample) (ဥပမာအားဖြင့် ၃၀ ထက်ကြီးပါက)၊ နမူနာပျမ်းမျှ၏ နမူနာဖြန့်ဝေမှုသည် ခန့်မှန်းခြေအားဖြင့် ပုံမှန်ဖြန့်ဝေမှု အတိုင်း ဖြစ်သည်။ CLT ၏ ဤသဘောတရားကြောင့် လူဦးရေဖြန့်ဝေမှုပုံစံကို မသိသည့်တိုင် နမူနာအရွယ်အစားကြီးများအတွက် ပုံမှန်ဖြန့်ဝေမှု သဘောတရားကို အသုံးပြု၍ ကောက်ချက်ဆွဲနိုင်သည်။

နမူနာပျမ်းမျှတန်ဖိုးတစ်ခုအတွက် ဖြစ်နိုင်ခြေကို တွက်ချက်ရန် သို့မဟုတ် ကောက်ချက်ဆွဲရန်အတွက် ၎င်းအား Standard Normal Distribution (z-distribution) သို့ ပြောင်းလဲရန် z-score formula ကို အသုံးပြုသည်:
Z = (X̄ – μ) / (σ/√n)
ဤဖော်မြူလာသည် နမူနာပျမ်းမျှ (X̄)၊ လူဦးရေပျမ်းမျှ (μ) နှင့် Standard Error of the Mean (σ/√n) တို့အကြား ဆက်နွယ်မှုကို ဖော်ပြသည်။

နမူနာအချိုးအစား၏ နမူနာဖြန့်ဝေမှု (Sampling Distribution of a Sample Proportion): ၎င်းသည် Dichotomous variable များ (ဖြစ်နိုင်ခြေရလဒ် နှစ်မျိုးသာရှိသော ကိန်းရှင်များ) အတွက် အရေးကြီးပြီး Binomial Distribution နှင့် နီးစပ်သည်။

•ပျမ်းမျှ (Mean): နမူနာအချိုးအစားများ၏ နမူနာဖြန့်ဝေမှု၏ ပျမ်းမျှ (μₚ̂) သည် မူလလူဦးရေ၏ အချိုးအစား (p) နှင့် ညီမျှသည် (μₚ̂ = p)။

•ဗေရိယင့် (Variance): နမူနာအချိုးအစားများ၏ နမူနာဖြန့်ဝေမှု၏ ဗေရိယင့် (σₚ̂²) သည် p(1-p)/n ဖြစ်သည်။ Standard Error မှာ σₚ̂ = √[p(1-p)/n] ဖြစ်သည်။

•ပုံစံ (Shape): နမူနာအရွယ်အစား (n) သည် များပြားပါက၊ နမူနာအချိုးအစား၏ ဖြန့်ဝေမှုသည် ခန့်မှန်းခြေအားဖြင့် ပုံမှန်ဖြန့်ဝေမှု အတိုင်း ဖြစ်သည်။ Normal Approximation ကောင်းမွန်ရန်အတွက် အနည်းဆုံး စည်းကမ်းချက်တစ်ခုမှာ np > 5 နှင့် n(1-p) > 5 ဖြစ်သည်။

•Standardization: ၎င်းကိုလည်း z-score formula အသုံးပြု၍ Standard Normal Distribution သို့ ပြောင်းလဲနိုင်သည်:
Z = (p̂ – p) / √[p(1-p)/n]

အခြားနမူနာဖြန့်ဝေမှုများ:

အခန်း (၅) တွင် နမူနာပျမ်းမျှနှစ်ခုအကြား ကွာခြားချက်၏ ဖြန့်ဝေမှု နှင့် နမူနာအချိုးအစားနှစ်ခုအကြား ကွာခြားချက်၏ ဖြန့်ဝေမှု တို့ကိုလည်း မိတ်ဆက်ပေးထားသည်။ ဤဖြန့်ဝေမှုများသည်လည်း နမူနာအရွယ်အစားများပြားပါက (သို့မဟုတ် မူလလူဦးရေများ ပုံမှန်ဖြစ်ပါက) ပုံမှန်ဖြန့်ဝေမှုနှင့် ခန့်မှန်းခြေအားဖြင့် နီးစပ်ကြသည်။ ၎င်းတို့အတွက် သက်ဆိုင်ရာ z-transformation formula များကိုလည်း ပေးထားသည်။

ခြုံ၍ပြောရသော်၊ အခန်း (၅) သည် စာရင်းအင်းဆိုင်ရာကောက်ချက်ဆွဲခြင်း၏ လက်တွေ့ကျသော လုပ်ငန်းစဉ်များ (ဥပမာ – ယုံကြည်စိတ်ချရသော ကြားကာလများ တည်ဆောက်ခြင်း (confidence intervals) [Ch 6], အချက်အလက်များကို အခြေခံ၍ ယူဆချက်များ စမ်းသပ်ခြင်း (hypothesis testing) [Ch 7]) ကို ဆက်လက်မလေ့လာမီ နမူနာအချက်အလက်များ၏ ပြုမူပုံနှင့်ပတ်သက်သည့် ဖြစ်နိုင်ခြေဆိုင်ရာ နားလည်မှုကို ပေးစွမ်းသည့် အရေးပါသော အခြေခံအခန်း ဖြစ်ပါသည်။ နမူနာစာရင်းအင်းတစ်ခု (ကျွန်ုပ်တို့၏ တစ်ခုတည်းသော နမူနာမှ တွက်ချက်ရရှိသည့် တန်ဖိုး) သည် ၎င်း၏ သက်ဆိုင်ရာ နမူနာဖြန့်ဝေမှုပေါ်တွင် မည်သို့တည်ရှိနေသည်ကို နားလည်ခြင်းအားဖြင့်၊ ကျွန်ုပ်တို့သည် လူဦးရေ ကန့်သတ်ချက်များ (population parameters) အကြောင်း မည်မျှအတိုင်းအတာအထိ ယုံကြည်စိတ်ချစွာ ကောက်ချက်ချနိုင်မည်ကို သိရှိနိုင်မည် ဖြစ်သည်။