အခန်း ၁၀ ဖြစ်တဲ့ “မျိုးစုံသုံး ပြန်လည်ဆန်းစစ်ခြင်းနှင့် ဆက်စပ်မှု (Multiple Regression and Correlation)” အကြောင်းကို ဆွေးနွေးပေးပါမယ်။ ဒါဟာ ကျွန်တော်တို့ အရင်ဆွေးနွေးခဲ့တဲ့ အခန်း ၂ က ဖော်ပြချက်ဆိုင်ရာ စာရင်းအင်းပညာနဲ့ အခန်း ၉ က ရိုးရှင်းသော ပြန်လည်ဆန်းစစ်ခြင်း (Simple Linear Regression) တို့ရဲ့ အဆက်ဖြစ်ပါတယ်।
မျိုးစုံသုံး ပြန်လည်ဆန်းစစ်ခြင်းနှင့် ဆက်စပ်မှု (Multiple Regression and Correlation)
နိဒါန်း
အခန်း ၉ မှာ ကျွန်တော်တို့ဟာ မှီခိုနေသော variable (dependent variable) တစ်ခုနဲ့ လွတ်လပ်သော variable (independent variable) တစ်ခုကြားက ဆက်နွယ်မှုကို လေ့လာပြီး၊ လွတ်လပ်သော variable ရဲ့တန်ဖိုးပေါ်မူတည်ပြီး မှီခိုနေသော variable ရဲ့တန်ဖိုးကို ခန့်မှန်းတွက်ချက်နိုင်ခဲ့ကြပါတယ်။ ဒါပေမဲ့ လက်တွေ့ကျန်းမာရေးသိပ္ပံနယ်ပယ်မှာ မှီခိုနေသော variable တစ်ခုဟာ လွတ်လပ်သော variable တစ်ခုတည်းပေါ်မှာ မူမတည်ဘဲ လွတ်လပ်သော variable တစ်ခုထက်ပိုတဲ့ အချက်တွေပေါ်မှာ မူတည်နေတတ်ပါတယ် ။
ဥပမာအားဖြင့်၊ လူနာတစ်ဦးရဲ့ သွေးပေါင်ချိန်ဟာ သူ့ရဲ့အသက်၊ ကိုယ်အလေးချိန်၊ စားသောက်တဲ့အစားအစာ၊ လေ့ကျင့်ခန်းလုပ်ခြင်းရှိမရှိ စတဲ့အချက်များစွာပေါ်မှာ မူတည်နေနိုင်ပါတယ် ။ ဒီလိုအခြေအနေမျိုးမှာ မျိုးစုံသုံး ပြန်လည်ဆန်းစစ်ခြင်း (Multiple Regression) ဟာ မှီခိုနေသော variable ရဲ့တန်ဖိုးကို လွတ်လပ်သော variable အများအပြားကို အသုံးပြုပြီး ခန့်မှန်းတွက်ချက်ဖို့ ဒါမှမဟုတ် ဆက်နွယ်မှုကို လေ့လာဖို့အတွက် အသုံးဝင်တဲ့ကိရိယာတစ်ခု ဖြစ်လာပါတယ်။
ဒီအခန်းရဲ့ ရည်ရွယ်ချက်ကတော့ အခန်း ၉ မှာ လေ့လာခဲ့တဲ့ ရိုးရှင်းသော ပြန်လည်ဆန်းစစ်ခြင်း နည်းလမ်းကို လွတ်လပ်သော variable တစ်ခုထက်ပိုတဲ့ အခြေအနေတွေအတွက် ချဲ့ထွင်လေ့လာဖို့ပဲ ဖြစ်ပါတယ် ။
မျိုးစုံသုံး ပြန်လည်ဆန်းစစ်ခြင်းပုံစံနှင့် ယူဆချက်များ (Multiple Regression Model and Assumptions)
မျိုးစုံသုံး ပြန်လည်ဆန်းစစ်ခြင်းမှာလည်း ရိုးရှင်းသော ပြန်လည်ဆန်းစစ်ခြင်းလိုပဲ အခြေခံပုံစံတစ်ခုနဲ့ ယူဆချက်တွေရှိပါတယ်။ မျိုးစုံသုံး linear ပြန်လည်ဆန်းစစ်ခြင်းပုံစံကို သင်္ကေတနဲ့ ဖော်ပြရရင် အခုလိုရေးလို့ရပါတယ်:
yⱼ = β₀ + β₁x₁ⱼ + β₂x₂ⱼ + … + βkxkⱼ + eⱼ
ဒီပုံစံထဲက သင်္ကေတတွေက ဘာကိုဆိုလိုလဲဆိုတော့:
•yⱼ က မှီခိုနေသော variable Y ရဲ့ subpopulation တစ်ခုက ပုံမှန်တန်ဖိုးတစ်ခုကို ကိုယ်စားပြုပါတယ်။
•β₀, β₁, β₂, …, βk တို့ကို ပြန်လည်ဆန်းစစ်ခြင်း ကိန်းဂဏာန်းများ (regression coefficients) လို့ခေါ်ပါတယ်။
•x₁ⱼ, x₂ⱼ, …, xkⱼ တို့က လွတ်လပ်သော variable များဖြစ်တဲ့ X₁, X₂, …, Xk တို့ရဲ့ သတ်မှတ်ထားတဲ့တန်ဖိုးတွေကို ကိုယ်စားပြုပါတယ်။
•eⱼ က အမှားကိန်း (error term) လို့ခေါ်တဲ့ ကျပန်း variable ဖြစ်ပြီး ပျမ်းမျှက 0 နဲ့ variance က σ² (Y ရဲ့ subpopulations အားလုံးရဲ့ တူညီတဲ့ variance) ရှိပါတယ်။
ဒီပုံစံအတွက် အဓိကယူဆချက်တွေကတော့:
•Y ရဲ့ subpopulations အားလုံးဟာ ပုံမှန်ဖြန့်ဝေမှု (normally distributed) ရှိရပါမယ်။
•Y ရဲ့ subpopulations အားလုံးရဲ့ variance တွေဟာ တူညီရပါမယ် (homoscedasticity)။
•Y ရဲ့ subpopulations အားလုံးရဲ့ ပျမ်းမျှတွေဟာ တူညီတဲ့ linear ဆက်နွယ်မှုပေါ်မှာ တည်ရှိရပါမယ်။ (ဒါကို linearity Assumption လို့ခေါ်ပြီး μy|x = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + … + βkxk အဖြစ် ဖော်ပြနိုင်ပါတယ်)။
•Y တန်ဖိုးတွေဟာ ကိန်းဂဏာန်းအရ လွတ်လပ်နေရပါမယ် (statistically independent)။
နမူနာ ပြန်လည်ဆန်းစစ်ခြင်းညီမျှခြင်း (Sample Regression Equation)
လူဦးရေ ပြန်လည်ဆန်းစစ်ခြင်းညီမျှခြင်း (population regression equation) ကို တိုက်ရိုက်သိဖို့ဆိုတာ မဖြစ်နိုင်တဲ့အတွက် နမူနာအချက်အလက်တွေကနေ နမူနာ ပြန်လည်ဆန်းစစ်ခြင်းညီမျှခြင်းကို တွက်ချက်ပြီး လူဦးရေညီမျှခြင်းကို ခန့်မှန်းရပါတယ်။ ဒီအတွက် အခန်း ၉ မှာ လေ့လာခဲ့တဲ့ အနည်းဆုံး वर्ग (least squares) နည်းလမ်းကိုပဲ အသုံးပြုပါတယ်।
ဒီနည်းလမ်းအရ အမှားကိန်း (error term) တွေရဲ့ ပေါင်းထားတဲ့တန်ဖိုး (SSE) ကို အနည်းဆုံးဖြစ်စေမယ့် b₀, b₁, …, bk တို့ရဲ့ ခန့်မှန်းတန်ဖိုး b̂₀, b̂₁, …, b̂k တွေကို ရှာဖွေရတာ ဖြစ်ပါတယ်။ ရရှိလာတဲ့ နမူနာ မျိုးစုံသုံး ပြန်လည်ဆန်းစစ်ခြင်းညီမျှခြင်းကို အခုလိုရေးနိုင်ပါတယ်:
ŷⱼ = b̂₀ + b̂₁x₁ⱼ + b̂₂x₂ⱼ + … + b̂kxkⱼ
ဒီညီမျှခြင်းက သတ်မှတ်ထားတဲ့ လွတ်လပ်သော variable တန်ဖိုးများ (x₁ⱼ, x₂ⱼ, …, xkⱼ) အတွက် မှီခိုနေသော variable (yⱼ) ရဲ့ ခန့်မှန်းတန်ဖိုး (predicted value) (ŷⱼ) ကို ပေးပါတယ်।
ပြန်လည်ဆန်းစစ်ခြင်းညီမျှခြင်းကို အကဲဖြတ်ခြင်း (Evaluating the Regression Equation)
တွက်ချက်ရရှိထားတဲ့ နမူနာ ပြန်လည်ဆန်းစစ်ခြင်းညီမျှခြင်းဟာ လူဦးရေညီမျှခြင်းကို ဘယ်လောက်ကောင်းကောင်း ကိုယ်စားပြုနိုင်လဲဆိုတာကို အကဲဖြတ်ဖို့ လိုပါတယ်। ဒီအတွက် နည်းလမ်းများစွာရှိပြီး အဓိကအားဖြင့်:
၁။ Analysis of Variance (ANOVA) ဇယား: ဒီဇယားဟာ မှီခိုနေသော variable (Y) ရဲ့ စုစုပေါင်း ပြောင်းလဲမှု (total variation) ကို ပြန်လည်ဆန်းစစ်ခြင်းကြောင့်ဖြစ်တဲ့ ပြောင်းလဲမှု (variation due to regression) နဲ့ အမှားကြောင့်ဖြစ်တဲ့ ပြောင်းလဲမှု (variation due to error) ဆိုပြီး နှစ်ပိုင်း ပိုင်းခြားပြသပါတယ်။
•Sum of Squares Total (SST): Y ရဲ့ မူရင်းတန်ဖိုးတွေဟာ သူတို့ရဲ့ ပျမ်းမျှ (ȳ) ကနေ ဘယ်လောက် ပြန့်ကျဲနေလဲဆိုတာကို တိုင်းတာပါတယ်။
•Sum of Squares due to Regression (SSR): ŷ (ခန့်မှန်းတန်ဖိုး) တွေဟာ ȳ ကနေ ဘယ်လောက် ပြန့်ကျဲနေလဲဆိုတာကို တိုင်းတာပြီး ပြန်လည်ဆန်းစစ်ခြင်းညီမျှခြင်းကြောင့် ရှင်းပြနိုင်တဲ့ Y ရဲ့ ပြောင်းလဲမှုပမာဏကို ကိုယ်စားပြုပါတယ်။
•Sum of Squares Error (SSE): y (မူရင်းတန်ဖိုး) တွေဟာ ŷ (ခန့်မှန်းတန်ဖိုး) ကနေ ဘယ်လောက် ပြန့်ကျဲနေလဲဆိုတာကို တိုင်းတာပြီး ညီမျှခြင်းနဲ့ ရှင်းပြလို့မရတဲ့ ကျန်ရှိနေတဲ့ အမှားပမာဏကို ကိုယ်စားပြုပါတယ်။
ဒီသုံးခုဟာ SST = SSR + SSE ဆိုတဲ့ ဆက်နွယ်မှုရှိပါတယ်။
ANOVA ဇယားကို အသုံးပြုပြီး လွတ်လပ်သော variable တွေအားလုံးဟာ မှီခိုနေသော variable (Y) ရဲ့ ပြောင်းလဲမှုကို ရှင်းပြရာမှာ တန်ဖိုးရှိရဲ့လား ဆိုတဲ့ null hypothesis ကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။
Null hypothesis က H₀: β₁ = β₂ = … = βk = 0 ဖြစ်ပြီး alternative hypothesis က H₁: βi အားလုံးထဲက အနည်းဆုံးတစ်ခုက 0 နဲ့မတူဘူး ဖြစ်ပါတယ်။ ဒီစမ်းသပ်မှုအတွက် test statistic ဟာ F Statistic (Variance Ratio) ဖြစ်ပြီး MSR (Mean Square Regression) ကို MSE (Mean Square Error) နဲ့စားတာပါ:
F = MSR / MSE
MSR က SSR ကို regression degrees of freedom နဲ့စားတာဖြစ်ပြီး MSE က SSE ကို error degrees of freedom နဲ့စားတာပါ। ANOVA ဇယားမှာ တွက်ချက်ရရှိတဲ့ F တန်ဖိုးဟာ သတ်မှတ်ထားတဲ့ အယ်လ်ဖာအဆင့် (α) အတွက် critical F တန်ဖိုးထက် ကြီးနေရင် null hypothesis ကို ပယ်ချပြီး လွတ်လပ်သော variable တွေထဲက အနည်းဆုံးတစ်ခုက Y ရဲ့ ပြောင်းလဲမှုကို ရှင်းပြရာမှာ အရေးပါတယ်လို့ ကောက်ချက်ချနိုင်ပါတယ်။
၂။ မျိုးစုံသုံး ဆုံးဖြတ်မှု ကိန်းဂဏာန်း (Multiple Coefficient of Determination),
R²: R² ဟာ ANOVA ဇယားက SSR နဲ့ SST ကို အသုံးပြုပြီး တွက်ချက်တာပါ:
R² = SSR / SST
R² ဟာ မှီခိုနေသော variable (Y) ရဲ့ စုစုပေါင်း ပြောင်းလဲမှုထဲက လွတ်လပ်သော variable များ (X₁, X₂, …, Xk) နဲ့ ရှင်းပြနိုင်တဲ့ ပမာဏကို ရာခိုင်နှုန်းအနေနဲ့ ဖော်ပြပါတယ်။ R² တန်ဖိုးက 0 နဲ့ 1 ကြားမှာရှိပြီး 1 နဲ့နီးလေလေ ညီမျှခြင်းက အချက်အလက်တွေကို ပိုကောင်းကောင်း ကိုယ်စားပြုနိုင်လေလေပါ။ R² တန်ဖိုးတစ်ခုတည်းကတော့ ညီမျှခြင်းရဲ့ fit ကို အပြည့်အစုံမဖော်ပြနိုင်ပါဘူး။ နမူနာ အရွယ်အစားကြီးလာရင် ဒါမှမဟုတ် လွတ်လပ်သော variable အရေအတွက်များလာရင် R² က အလိုလိုကြီးလာတတ်ပါတယ်। ဒီပြဿနာကို ဖြေရှင်းဖို့အတွက် Adjusted R² ကို အသုံးပြုလေ့ရှိပါတယ်။ Adjusted R² ဟာ နမူနာအရွယ်အစားနဲ့ လွတ်လပ်သော variable အရေအတွက်ကို ထည့်သွင်းစဉ်းစားပြီး တွက်ချက်ထားတဲ့ R² ဖြစ်ပါတယ်။ Computer software တွေမှာ Adjusted R-sq (R-sq(adj)) ဆိုပြီး တွက်ချက်ပေးလေ့ရှိပါတယ်।
၃။ တစ်ဦးချင်း ပြန်လည်ဆန်းစစ်ခြင်း ကိန်းဂဏာန်းများ (Individual Regression Coefficients), b̂i: မျိုးစုံသုံး ပြန်လည်ဆန်းစစ်ခြင်းမှာ တွက်ချက်ရရှိတဲ့ b̂i တန်ဖိုးတစ်ခုစီဟာ ကျန်ရှိတဲ့ လွတ်လပ်သော variable တွေရဲ့တန်ဖိုးကို မပြောင်းလဲဘဲထား (holding other variables constant) စဉ်မှာ သက်ဆိုင်ရာ Xi ရဲ့တန်ဖိုး တစ်ယူနစ်ပြောင်းလဲခြင်းကြောင့် မှီခိုနေသော variable Y ရဲ့ ခန့်မှန်းတန်ဖိုး ဘယ်လောက်ပြောင်းလဲမယ်ဆိုတာကို ကိုယ်စားပြုပါတယ်။ βi တစ်ခုစီဟာ 0 နဲ့ တကယ်ပဲ ကွဲပြားခြားနားရဲ့လားဆိုတဲ့ null hypothesis (H₀: βi = 0) ကို test statistic t ကိုအသုံးပြုပြီး စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်:
t = (b̂i – βi₀) / s.e.(b̂i)
ဒီမှာ βi₀ က null hypothesis က သတ်မှတ်ထားတဲ့ βi ရဲ့တန်ဖိုး (များသောအားဖြင့် 0) ဖြစ်ပြီး s.e.(b̂i) က b̂i ရဲ့ standard error ပါ။ တွက်ချက်ရရှိတဲ့ t တန်ဖိုးနဲ့ သက်ဆိုင်ရာ degrees of freedom (ANOVA ဇယားက error degrees of freedom) အတွက် critical t တန်ဖိုးကို နှိုင်းယှဉ်ပြီး null hypothesis ကို ပယ်ချမပယ်ချ ဆုံးဖြတ်နိုင်ပါတယ်။ null hypothesis ကို ပယ်ချရင် သက်ဆိုင်ရာ လွတ်လပ်သော variable Xi ဟာ ကျန်တဲ့ variable တွေကို ထိန်းချုပ်ထားစဉ်မှာ Y နဲ့ linear ဆက်နွယ်မှုရှိတယ်လို့ ကောက်ချက်ချနိုင်ပါတယ်။
ခန့်မှန်းခြင်းနှင့် တွက်ချက်ခြင်း (Estimation and Prediction)
တွက်ချက်ရရှိထားတဲ့ မျိုးစုံသုံး ပြန်လည်ဆန်းစစ်ခြင်းညီမျှခြင်းကို သတ်မှတ်ထားတဲ့ လွတ်လပ်သော variable တန်ဖိုးများ (Xi values) အတွက် မှီခိုနေသော variable (Y) ရဲ့တန်ဖိုးကို ခန့်မှန်းဖို့ (predict) ဒါမှမဟုတ် Y ရဲ့ subpopulation ရဲ့ ပျမ်းမျှကို တွက်ချက်ဖို့ (estimate) အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်।
•Y ရဲ့ subpopulation ရဲ့ ပျမ်းမျှကို တွက်ချက်တဲ့အခါ confidence interval ကို အသုံးပြုပါတယ်।
•Y ရဲ့ တစ်ဦးချင်းတန်ဖိုးကို ခန့်မှန်းတဲ့အခါ prediction interval ကို အသုံးပြုပါတယ်।
Prediction interval တွေက confidence interval တွေထက် ပိုကျယ်ပါတယ်
မျိုးစုံသုံး ဆက်စပ်မှုနှင့် အပိုင်းအလိုက် ဆက်စပ်မှု (Multiple and Partial Correlation)
မျိုးစုံသုံး ဆက်စပ်မှု ကိန်းဂဏာန်း (Multiple Correlation Coefficient), R ဟာ မှီခိုနေသော variable (Y) နဲ့ လွတ်လပ်သော variable များ (X₁, X₂, …, Xk) ရဲ့ ပေါင်းစပ် linear ဆက်နွယ်မှုရဲ့ ပြင်းအားကို တိုင်းတာပါတယ်။ R² ရဲ့ (square root) ဖြစ်ပြီး 0 နဲ့ 1 ကြားမှာရှိပါတယ်။ 1 နဲ့နီးလေလေ Y နဲ့ X variable တွေရဲ့ linear ပေါင်းစပ်မှုကြား ဆက်နွယ်မှု ပိုအားကောင်းလေလေပါ။
အပိုင်းအလိုက် ဆက်စပ်မှု ကိန်းဂဏာန်း (Partial Correlation Coefficient) ကတော့ variable တစ်ခုနဲ့ နောက်တစ်ခုကြားက ဆက်နွယ်မှုကို တခြား variable တွေရဲ့ သက်ရောက်မှုကို ဖယ်ထုတ်ပြီး တိုင်းတာပါတယ်။ ဥပမာအားဖြင့်၊ r₁₂.₃ ဟာ variable 1 နဲ့ variable 2 ကြားက ဆက်နွယ်မှုဖြစ်ပြီး variable 3 ရဲ့ သက်ရောက်မှုကို ထိန်းချုပ်ထားခြင်း (control) ဖြစ်ပါတယ်။ Partial correlation coefficients တွေကိုလည်း သက်ဆိုင်ရာ degrees of freedom နဲ့အတူ t-statistic ကိုအသုံးပြုပြီး 0 နဲ့ ကွဲပြားခြားနားခြင်းရှိမရှိ စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်।
နိဂုံးချုပ်
မျိုးစုံသုံး ပြန်လည်ဆန်းစစ်ခြင်းနှင့် ဆက်စပ်မှုဟာ ကျန်းမာရေးနယ်ပယ်မှာ အလွန်အသုံးဝင်တဲ့ စာရင်းအင်းနည်းလမ်းတွေ ဖြစ်ပါတယ် ။ ဒါဟာ မှီခိုနေသော variable တစ်ခုရဲ့တန်ဖိုးကို လွတ်လပ်သော variable အများအပြားပေါ် အခြေခံပြီး ခန့်မှန်းဖို့၊ သူတို့ကြားက ဆက်နွယ်မှုတွေရဲ့ ပြင်းအားနဲ့ ဦးတည်ရာကို လေ့လာဖို့၊ လွတ်လပ်သော variable တစ်ခုစီရဲ့ မှီခိုနေသော variable အပေါ် သီးခြားသက်ရောက်မှုကို တိုင်းတာဖို့ စတဲ့အရာတွေအတွက် ကိရိယာတစ်ခု ပေးစွမ်းပါတယ်။ ဒီနည်းလမ်းတွေကို နားလည်ကျွမ်းကျင်ခြင်းဟာ ရှုပ်ထွေးတဲ့ ကျန်းမာရေးအချက်အလက်တွေကို နားလည်ပြီး အဓိပ္ပာယ်ရှိတဲ့ ကောက်ချက်တွေချနိုင်ဖို့အတွက် အခြေခံလိုအပ်ချက်တစ်ခု ဖြစ်ပါတယ်။
